基本 例3 多項展開式とその係数 (1)
[x'yz]
次の式の展開式における、[ ]内に指定された項の係数を求めよ。
(1) (x+2y+3z)
武蔵大)(2)(1+x+x2)"[x]
[愛知学院大】
/p.16 基本事項
指針
二項定理を2回用いる方針でも求められるが、 多項定理 を利用して求めてみよう。
n!
(a+b+c)” の展開式の一般項は
a'b'c', p+q+r=n
pig!r!
1
章
解答
(2) 上の一般項において, a=1,b=x, c=x2とおく。 このとき, 指数法則により
1.x(x2)'=x+2 である。 g+2r=4となる0以上の整数 (p,g,r) を求める。
(1) (x+2y+3z) の展開式の一般項は
4!
4!
plq!r! *"(2y)" (32)=(plar! +2°.3") xyz"
123*xyz
ただし p+g+r=4, p ≧0, g≧0, r≧0
p!q!r!
x2yzの項は,=2, g=1,r=1のときであるから
(a+b+c) の一般項は
4!
p!q!r!
apbacr
(p+gtr=4, p≧0,
q≥0, r≥0)
4!
・・2・3=72
2!1!1!
050
[別解 {(x+2y)+3z} の展開式において, z を含む項は
C (x+2y) •3z=12(x+2y)'z
また, (x+2y)の展開式において,xy を含む項は
3C1x2.2y=6x2y
よって, x2yzの項の係数は
12×6=72
3次式の展開と因数分解、二項定理
■二項定理を2回用いる方
針。 まず (+3z) の展
開式に着目する。
(2) (1+x+x2) の展開式の一般項は
8!
p!gly! 1.x(x2)=
8!
*x9+2r
p!q!r!
......
ただしp+g+r=8 ①, p≧0,g≧0, r≧0
の項は. g+2r=4 すなわち
g=4-2r ...... ②
のときであり, ① ② から
ここで,②g≧0から
p=r+4
......
③
4-2r≧0
rは0以上の整数であるから
② ③から r=0 のとき
r=1のときp=5,g=2
よって, 求める係数は
r=0, 1, 2
p=4,g=4
r=2のとき=6,g=0
(am)=amn
い
p,g,rは負でない整数。
② を 1 に代入すると
p+4-2r+r=8
44-2r≥05 r≤2
8!
8!
8!
+
+
=70+168+28=266
4!4!0! 5!2!1!
6!0!2!
10!=1
