1)(x+y+2)
練習 (1) xの2次方程式 (x-a)(x-b)-2x+1=0の解をα, βとする。このとき,
③48
(x-a)(x-β)+2x-1=0の解を求めよ。
(2) 2次方程式 (x-1)(x-2)+(x-2)x+x(x-1)=0の2つの解をα, βとするとき,
1
1
の値を求めよ。
1
+
aß (a-1)(B-1) (a-2)(B-2)
+
(1)(x-a)(x-b)-2x+1=0の解がα, βであるから,等式
(x-a)(x-b)-2x+1=(x-a)(x-β)
(x-a)(x-β)+2x-1=(x-a)(x-b)
が成り立つ。
よって
ゆえに,(x-a)(x-β)+2x-1=0の解は
x=a, b
aβ=ab+1
(2) (x-1)(x-2)+(x-2)x+x(x-1)=0の2つの解がα, βで 第2の方程式から
あるから,次の等式が成り立つ。
x2-(α+β-2)x+αβ-1=0
(x-1)(x-2)+(x-2)x+x(x-1)=3(x-a)(x-B)
両辺にx=0, 1, 2 を代入すると, それぞれ
2=3cß, -1=3(1-α) (1-β), 2=3(2-α) (2-B)
ゆえに ab=12/23, (a-1)(B-1)=-1/23, (a−2)(B-2)=
3'
よって, 求める式の値は
3
2
3'
3
2
-
-3+- =0
[ 大阪経大 ]
2-3
別解 (1) 第1の方程式
から
x2-(a+b+2)x+ab+1=0
解と係数の関係により,
a+β=a+b+2
①②から
|x²−(a+b)x+ab=0
ゆえに (x-a)(x-b)=0
よってx=a, b
