Question

Losto

この問題の帰納法での証明において、赤で囲っているところの点線部分の式変形があんまり理解できません。
また(2)において、n≧2^mとおいているから
∑(n=1から∞)1/nが発散するのであって、n<2^mの場合は考えないのですか？n≧2^mはこっちが勝手においているだけですよね？
どなたか解説して欲しいです🙏

00
広島大]
2n
(1)
すべての自然数n
k=1k
1
1
106
+
+
2 3
と、等
指針▷ (1) 数学的帰納法によって証明する。
重要
例題
127 無限級数1/n が発散することの証明
(2)無限級数1+
nに対して,
+･･･
M
+1が成り立つことを証明せよ。
2
213
1 n
十 は発散することを証明せよ。
基本 117, 重要 126
4章
15
5
うちの
を利用する方法は使えない。 そこで, (1) で示した不等式の利用を考える。
......
2" とすると13
k=1k k=1 k
1
ここで,m→∞のときn→∞ となる。
解答
2"
(1)
k=1
2
(2) 数列{1} は0に収束するから,p.201 基本例題 117 のように,p.199 基本事項 ② ②
i
無限級数
-"b"
[1] n=1のとき 2 = = 1 +
① とする。
11
=
+1
よって、 ① は成り立つ。
2 2
+1
k=1 k
[2]n=m(m は自然数)のとき,①が成り立つと仮定すると 11/12
k=1
算
を算
を利用
る。
2+1
このとき
k=1 k
2m 1
k=1 k
2m+1
1
k=2+1 k
2(+1)+2+1
1
+
+
・+
2m+2
2m+1
x"
m
2
1
1
1
・+1+
+
++
2m+1=2m2=2"+2m
2m+1 2m+2
2m+2m
コーx)
>m+1+
1
2m+1
.2m=
よって, n=m+1のときにも ① は成り立つ。
2+2+2(-2+1)
(k=1, 2, ......, 2"-1)
[1], [2] から, すべての自然数nについて①は成り立つ。 3000
2
im+1+1
2m+k
らば
1] (2) Sn=
n
2 1
とおく。 n≧2m とすると, (1) から
Sn
+1
k
→∞のときn→∞で lin
ここで,m→
lim
moo
2
(+1)=00
=8
よって
limSn=∞
0803
882
したがっては発散する。
an≦bn liman=∞⇒limbn=8 (p.174 基本事項 3②)
81X
11100
n=1n
epox mill
検討 無限級数1の収束 発散について
.
数列{a} が 0 に収束しなければ, 無限級数 ≧ an は発散するが(p.199 基本事項 ② ②),この逆
n=1
は成立しない。 上の (2) において lim=0であることから,このことが確認できる。
00 1
なお,
n=1 n'
non
>1のとき収束, p=1のとき発散することが知られている。
00
んを求めよ。
のを用いて
無限級数
は発散することを示せ。

極限 無限級数 発散 証明 数学的帰納法

Answer 1

和

前半は、図に描きました
1,2,3,…,2ᵐを、すべて2ᵐに取り替えています
分母をより大きくしているので、分数としてはより小さくなります
それらの和なので、式全体も小さくなります

後半
以前同様のことをお答えしたように思いますが、
ここではn→∞のときを考えるので、
nが十分大きいときについて考えればよいです
nが小さめの値のときに成り立つかどうかはどうでもよいことです