ページ3:

[I](1)
A
B
白 2
白3
赤
4
赤 2
計 6
5
ア
の2の目
A
それ以外
B
イ
ウ
1回目 A
から白
2
2
x
=
6
9
Aから白
または Bから
白
3
2
÷ + * * 1/1/1 + + + 1/1/1
=
23
5
18
=
+
=
45
45
45
1
9
5
1回目 Aから赤
1回目
4
2
2
2
=
X
==
6
3
3
6
Bから赤
×
2
=
赤
5
2
2
4
X
3
5
15
Aから赤
または
Bから赤
2
10
12
22
+
=
+
=
9
15
45
45
45
目赤のとき
Aである確率は

ページ4:

エ 2回目 赤
[-]
A 白
A 赤
2
2
9
22
45
=
2×5
22
==
5
ウ
||
2
x
6
5
号)
X
4
=
9
15
135
[2] A白 B 赤
2
1/x/
1/x/
=
4
(***) * (**) * ½ **=*/
15
135
[3] A 赤A 赤
2
2
2
=
x
×
9
ほ
[4] A 赤 B赤
</
=
2
4
☑
6
45
135
d
=
(† * † ) × ( † * † ) + ÷15
[5]
BA A π.
3
x
6
(† * } ) × ( † • † ) = — — — —
2
2
×
=
9
4
45
12
=
135
[6]
BA
B 赤,
3
5
(† * * ) * ( * * * ) = ± 1/43/15
2
2
18
×
=
5
3
[7]
B 赤
A 赤.
4
2
8
(* * * ) × ( + * † ) - * * 1/1/5
1/2)×1
=
15

ページ5:

[8]
オ
B 赤 B 赤
4
2
☑
2
☑
=
==
15
6
45
2回目 赤
川
~[8]が排反より
4
4
8
+
+
135
135
135
135
12
18
f
+
+
+
+
135
135
135
66
135
2回 赤のとき
1回目も赤で確率は
[3] [4] [6] [7] より
6
d
6
+
135
135
+
135
+135
66
135
28
14
-
66
33
A6 回 Bo
2 6
==
A 6回 BL
36
I
6
135
6+8+8+6
66
6回中5回A
5
B のあと A
4
2
=
6
6.
=
4
* C* ( + + + + + +++*
5 ×
6
(1)
6
353
36
6
135

ページ6:

A
6回 B2回
7回中5回A2回B
765
5
のあとA
2
17 6 5 ( f ) ) ³ ( + - ) *
2
6
28
7.6
4
=
X
2-1 37
37
=
" C₂
A 6回
B3回
I
2
35
☑
1
8回中5回A3回 B のあと A
=
2
5
4 3
2
=
* ( * ) * ( * )* * * * * * * *¦
(1)
×
8
448
8·7.6
8
×
3.2.1
30
3
39
C3
3533
×
A 6回 B4回
9回中 5回 A 4回B
2
5
4
×
のあとA
2
=
9
C4
+ Cs ( t ) ( t ) * * — • C₂ */ // //
6
9
C5
-
9·8·7·6
4.3.2.1
16
3
=
224
38
x
35
34
4
28
+
+
36
36
3
37
(3+
3
+
448
224
+
39
30
+43 +28.3 +448+2243)
371 127+108 +252+448+672)
1507
39
1507
19683
オ

ページ7:

(2)
A 163,33
25, 3/3+26)
B ( 2,
3/3 + 27, 3万-26)
A B
=
=
0 A
12
6√3
52,-52)
|AB|
2
=
=
=
(26/3)² + 52' + (-52)²
4-24/3+363 +
522+522
4 - 24/3 + 108 + 2
=
112
=
5520
-
- 24/3 +
24/3 +
5408
52°
=
24 × (230
-
ふ)
キ
H 12
AB上の点より
実数を用いて
-
OH
=
OA + AB
OH ⊥ AB より OH AB = O
(OA+TAB) AB
1
OA AB + t | AB |²
= O
=0
=
t│ABI OA OB
OA AB
=
16333
- 25,
=
=
=
=
=
-
(2)
3√3+26). (2-653,
12/3-36.3 + 156√3
123-108
12/3
-
108
-
-
0 + 23
-
-
25.52
15613
-26·52
51.52
2652
12(230-13)
52
- 52 )

ページ8:

②
より
'
t 24 × (230 - √3 )
t
OH
=
A +
AB
roが最大となるの
のようなとき
to
=
HC + 3
HC =
OC
-
OH
=
12(230-13)
12
=
=
24
2
==
16/3, 3/3-25, 3/3+26)
+
12-653, 52, -52)
= ( 63, 33 - 25, 3/3+26)
=
+ (1-33, 26, -26)
13/3+1 33+133)
12
点H
の
Z座標は3/3
=
(1,1,0) 13/3 +
-
+|
3 3 + 1.33)
'
= (-33-33-33)
2
*
| HC | ₁ = (33) + (-3) + (-3)'
=
=
| HC |
=
9.3 + 9.3 + 9.3
81.
181= 9
to = HC + 3
Sro
=
9+3
=
12
ク
H
to

ページ9:

HPI
HP
=
(1
=
=
=
ro
12
9
=
12
HC
|HP|
TACI
HC
=
✓ HC
41-3
(-3/3, - 3√3 - 3√3)
1-43-43-4/3)
op - OH = (-413, -4, - 43 )
OP
OP
=04+(-43-43, - 4/3)
=
(3/3 + 1
33+133)
+1-43-43-43)
= (1-1--3)
Pの
Z座標は
-√3
ケ
H13/3+1
3√3+1 33 )
ro
H
求める円の半径を
とおくと
2
+
より
x
x
2
+
9.3
x
2
=
=
2
(33)
=
r
x0より
=
122
144-27
117
X
=
17
=
3/3
刈面
コ
313

ページ10:

[Ⅱ]
a₁
=
a₂ = 1
A4+2
=
anti +
1019 n)
(n+2)(n+1)
9- n
bn
=
An+1 +
n +1
(1)
an > o
A3
=
=
an
an
1019-1)
=
a2
+
a
3
| +
(1+2)(1+1)
10.8
3 2
+
40
43
(答)
3
3
9-1
b₁ =
A2+
a
|+|
8
=
+1
2
=
| +
4
=
5
(谷)
9-2
b2
= a 3 +
az
2+1
43
7
+
3
3
3
wo
(答)

ページ11:

(2)
buti
=
Cn bn
9-(4+1)
bnti
=
Antz +
an+1
b n =
bnti
=
(n+1)+1
9-n
Anti +
an
n + 1
Antz +
9-(4+1)
(n+1)+1
= {amri +
n+ 2
10(9-n)
(n+2) (n+1)
An+1
an
{
9-(4+1)
+
Anti
(n+1)+1
9-n-1
=
10(9-n)
an+1
Anti +
an
n+2
n+2
(n+2) (n+1)
10
10(9-7)
anti +
an
n+2
(n+2)(n+1)
10
1 anti +
9-n
an)
1 + 2
n+1
10
bn
buti
=
n+2
cnbu を満たす cmは
10
C n =
(荅)
n + 2
(3)
10
=
bn
n+2
n2のとき
10
10
10
n
bn-1 =
bn-z
n + 1
n + 1
n
10
10
10
10
10
b
n+1
n
n-1
4
3

ページ12:

(4)
10
10
10
10
10
5
n+1
n
n-1
4
3
10
10
10
10
10
10
n+1
n
n-1
3
2
10"
(n+1)!
n=1のとき
10
10
(1+1)!
b1=5より
①は
A n ≤ Amo
An+2
An+z
Anti
b n =
2
=
5
n =1のときも成り立つ
10"
n
(谷)
(n + 1)!
10 (9-n)
=
anti +
an
(n+2)(n+1)
=
10(9-1)
(n+2)(n+1)
An
An > 0 ( n = 1,
2
3
)より
An+2
>
Anti
と
すると
Antz
anti
> 0
10(9-n)
(n+2)(n+1)
> 0
no より
n + 2 > o
N + 1 > o
9- n
>
0
-n
>-9
n
<
9
Iɛneparz

ページ13:

A4+2
> anti
anti
< an+2
A 3 <a ¢ <
< Aq < A,
a
= 1,
a² = 1.
43
(1)より
a 3 =
3
a. = az < az < A & <
n=9のとき
より
A4+2
=
= an+1
a"
= A 10
n≧9のとき
< A10
③
A4+2
< Anti
Anti
> anti
910
>
a 11 > a 12
⑤⑤
(3.
(5)
より
a₁ = a ₂ < α = < A4 <....
すべての自然数nについて
< a 10
= a ₁₁ > a₁₂ > a 13
>
An ≤ amo
となるmは
Mo
= 10,11
9-n
bn
= Antit
an
n + 1
n =
10 のとき
9-10
610
= All +
a
10+1
(3) と
a10
= a₁l 52
1010
ao +
a10
!!!

ページ14:

10°°
10
10
10!
=
e| =
a10
010
10°
a₁₁
10!
(10!) a₁
=
109
(10!) a₁ = 10'
(M., (10 ! )· amo ) = ( 10, 109). (11. 10°) (1)
910 =
a.
より

ページ15:

(1)
(1)
0 < x <
u =
fu
=
元
Sin d
2
sin² x + cos² (x + α)
f t f (x ) d x
= { { sin'x + cos² (X +α) } de
Sfsin'x
ここで
dx
cos 2 x =
-
2 sin² x
2 sin² x
=
sin x =
cos 2k
cos 2x
2
cos 2 x
2 cos²x -1
2 cos² x
2
cos² x
=
=
2 cos²x
☐
cos 2 x
=
|+
cos 2x
1 +
cos 2k
=
f³ f ( x ) d x
2
= { { sin' x + cos ² (X+α)} da
=
2x
{1-1922
2
1 +
+
cos 2 (x + α)
2
}
=
=
2
六
[2x
-
-
cos 2x + cos (2x + 2α) } dx
+ sin 2x + + + sin(2x + 2017 ] &
=
R
-
Link+
10
-
2
2
°
fin (π + 2d)
Lino +
= = sin 2α) }

ページ16:

=
1/1
-
六
(π
2
0
-
1/
Sin2d
-
I sin lα)
sin 201
ここで
Lin 24
=
2 sind
d
fin² d + cos²d =
より
cos-d
=
より
old ( I 5 )
:
|- sin'd
=
-
u²
cor α > 0
なので
cos α =
√1 - u²
2
2 sind cos.
d
:
Sin 2 d
=
=
24/1-u²
S& fuj dx
2
2
2)
-
=
兀
2
-
u
sin 2α)
24√1-4²)
(谷)
(2)
foo
=
sin² x + cos² ( x + α)
f'(x) = 2 finx (sinx)-
+ 2 cos(x+α) { cos (x +α)}'
= 2 find cos x
+
2 cos (x + α) (-
= 2 finx LOT X
(x+2)}
sin (x+d.
2 cos (x + α) sin (x+α)
= Sin 2 x
-
sin 2 (x+α)

ページ17:

Lin 2 (x+2)
Fin 2x]
}
ここで
A + B =
2(x+2)
A - B
= 2x
とすると
2 A
=
4x+24
A
=
2x + d
2 B =
22
B
d
Sin 2 (x+α)
=
-
Cin 2x
=
sin (2x+d+d)
=
-
sin (2n+d-d)
2 cos (2x+α) sind
=
-
{ sin 2 (X + α)
-
sin 2x }
=
2 cos (2x + d) sind
f'(x) =
0
とすると
- 2
cos I
R
(2x+α) sin α = 0
0 < α <
より
sind > 0
cos (2x + α)
= 0
0 ≤ x ≤
より
0 ≤ 2 X E R
2
π
より
2
0 < 2 x + α < π +
3
0 < 2 x + α < — R
I
2x + 2 =
2
π
2x
α
2
2
元
2

ページ18:

f(x)の増減表は
X 0
f(x) /
f(x)
ful it
-
πC
0
2
①より
x =
πC
4
-
d
2
+
2
R☑
x=
2
4
2
fu) = = 12-
R
-
d
2
(
2
12114 | 177 1/1)
最小値
us 2x + Cos
=
12-
=
-
R
(2x+2α)}
d) + (5-4+24)}
cos
1 | 2 - cos ( -α) + cos
2
cos (+ d
2
: fl
=
12
Lind
sind)
2
0 = +d
0-1-d
(火)は
=
½ (2-2 sind)
=
Sin d
=
u
x =
44
-
ので
最小値
1 - u をとる
0=2
x
Sind
cos (+α)
Los
03 (7-4)
R
x0 =
-
C = 1-u
(答)

ページ19:

(3)
y = f(x) (0 ≤x≤ 1 )
元
2
y
= ( = = 1-u
x = 0
x =
R
2
1-U
P₂
y= f(x)
y = c
G
0
π
-
①より
ここで
- cos 2x
+
=
cos (2x
+2g)
-
f(x) = = = = 12-
2
cos 2x + cos (2x+2α)}
cos (2x + 2α)
cos 2x
=
cos (2x+2
+
α)
-
cos (2x+α-α)
=
2
sin (2x+α) sin d
V₁ + V₂
RN
2
x
f(x)=
1/12
-
2
Lin (2x+α) find}
= ☐ sin (2x +α) sin d
-
x foto | fu) - c\"dx + x
= π
= π
{f(x)
パイ
C
(x)
2
1 - sin (1x+α) Lind) - (1-4)}² da
T 1, (1 - Sin (2a +d) find
=π
-
u
2
1 +
-sind) dr
= π
Sin (2x + d) find +
sind? ² dx
2
= π
sin'd | 11 - sin(2x+α) } de
= π sin² α
2 sin (2x+d) + sin ² (2x + α) } dx

ページ20:

V₁ + V₂
V₁ + V₂
=
π u²
π sin' α
=
-
2 Lin (2x+d) + sin³ (2x + α) } dx
ここで
sin² (2x+d) =
cos 2 (2x+α)
2
-
cos (4x
+2g)
=
2
V₁ + V₂
==
ST
2 sin (2x+d) + sin ³ (2x +α) | dx
2 sin (2x+α) +
cos (4x + 2α)
} d
2
=
[ x
x
+ 2
cos (2x+α) +
+
2
4
=
x +
Sin (4x+ 2α)
cor (2x+d) + sin (4x + 2 α) ]
元
0
°
大
=
+
cos (7+α) +
fin (2π + 2α)
2
2
-
-(0 +
Cos d
+
sinzα)
=
=
=
3
4
3
4
3
R
-
-
cos α +
2 cos d
2 √1 - u²
Lin Za
cos d
4
(②より)
(谷)
-
4
Sin 2d

ページ21:

〔IV〕
x>0
(1)
N≥0
tn
(x)
(x) of
=
fn 1x ) =
lim a
a-6
0
logx
d
x
dx
(x) 1-4 f
兀
e
ds=
2
m
自然数
h(t)=(1+
th
Je
k!
7-
(n=1,2,3)
d
m
* h (t) = ( 1 + c ) 1 1 ) e ²² +
dt
(2)9
m
=
=
Ľ
k=1
Ľ
k=1
=1
k=1
k=1
k!
kth-1
k!
(k-1)!
t
1-7
1(1-7)
色
(1 + 2 + ^ He"/"
k=1k!
-t
e² ² + ( 1 + 1 + 1/1 ) e ² (-1)
.t
e
+ ]).
k=1
k!
-t
Je
k = 1 k !
7-
-1e-t
=
-
。
10
+
10
t
ul
t
!!
+
t
m
m!
m
7
k-1
2!
+
k!
t'
t
m-1
(m-1)!
t
t
2-2 (1
He
m!
t
e
(答)
_t
|-
t
!
³ {1-(1-111-4)
m-1
-t

ページ22:

(2)
M
[証明]
自然数
t2m
m!
<e
t² = 5 > 0
m
S
m!
を示す
とおく
es
(1)より
d
-t
1 kati 1 co
dt
e
MI
hit)
は単調に減少する
S > O
の
とき
e-m> o
his) chlor
k
m
0
=
(1 + [
Je
::
11+
h(5)
4=1
=
< |
fi
なので
| +
k!
k!
Ľ
k!
< |+
S
k!
m
m
- m
Ľ
< |
Le
k!
M
m
m
<e
♪ = t²
2
より
m
t2m
k!
[終]

ページ23:

(3)
gn (x) = f (x)· x
e"
x = e
In (u) = g₁le")
1. (u) = g.le")
tole")
11141
ここで
log X
=
loge"
x
= le") - loge"
e"
luge"
= (e")°
=
(答)
=
911e")
file") (en) logen
f₁ (x) =
d
x
toy
dx
= x
d
dn
-logα
x
J
=
log y
=
=
-logx
log x
とおく
-lign
(- log X) log X
=
(log x)'
2
両辺をx
で微分すると
y'
=
y
y'
y
y' =
d
dn
=
x
-lug"
2 (logn). (logn)
-2 (logα)
2 logα
X
+
2 lug x
x
x
y
=
x
- log λ
2 log X
x
X
-lug⭑

ページ24:

:. f (x) = x.
=
=
file") =
d
dx
-lugn
x
2 lug X
x
- 2 \log XI X
log X
x
)
·logn
2 (loge") x
loge"
=
-
2
u
1e")-lue"
①より
11141
=
file")·len bye"
=
2
u
1e")-12"
1e")
loge"
=
241e41°
=
24
(答)
n≧のとき
ここで
In (u) = In le“)
du
dx
=
fn le) le logen
= fnle")
In le") .le")"
= fnle")
fn lea) eue
x =
T
du
dx
e
-
u
=
=
e
du
dx
|
u
e"
K
d
dx
とすると
fnle") = e"
u
An
du
d
fn-(e)
dx du

ページ25:

より
d
fn- le")
eu du
d
fn-le")
du
In (u)
Inti (4)
=
=
=
du
d
du
fn-le")
fn (e")
d
to le")
du
ここで
In (u)
=
=
=
=
In 1e")
fn (e"). (e") bye"
fn le")
(e"ju
fu leu). euz
:. tn ley). eu² = lnlu
fnle")
=
In (u) e
:
③は
Inti (u)
=
=
d
eu² ) 1 lulus - e-u² }
du
d
-e" [ { lulus] eu² + lulus - (*² (-24)]
du
d
e
eu²³ { _ latus - zulatus } e-
du
Lu (u)
d
=
In (u)
-
2u ln (u)
du
Inti (u)
=
N ? | のとき
d
-
2u ln (u) +
du
In (4) 15
uの
n次式で
unの係数が
(-2)であることを

ページ26:

数学的帰納法で示す
[1] n=1のとき
f₁ (4) =
-2u
1次式で
uの
u
の
係数は
- 2 =(-2)'
[2]n
=
k
のとき
lk lus 19"
uk次式で
uの係数が(-2)とする。
Akti (4) =
2ulk(u)+
d
lktu)
du
lk (u) pi
u
の
k次式より
-2ulk (a) は
uの
uの係数が(-2)k より
(k+1)次式
1414)
の
-2414(4) の
k+1
u
の係数は
- 2 x (-2) k
=
(-2)4+1
lk (u) が
uの
た次弍より
d
luluは
uの
(n-1) 次式
du
lkti (u)は
u a (k + 1 ) ; R &' {"
kt1
u
の
係数は
(-2)4+1
[1][2]から
数学的帰納法により
n≧1のとき
lm (u)は
uの n次式であり
ln(u)における
uの係数は1-2)である。

ページ27:

(4)
In = lim S. { fm (x; } "
b
x
logα -1
dx
+60
b
I₁
I. = lim /', { fox, l'x
X
logα-1
dx
lugα-1
dx
M
u
= lim | (x-log x ) 2 x
=
=
= lim S
• lim f
log x = u
du
du
x = e
= eu
b
u
x
x
-2lugx
lugα-1
x
dx
-log X-1
とおく
dx
-log b
I.
=
=
=
->
-
b
log b
lus b
-u-1
lim Lamb (xuju. e" du
-lugb
lim / e-u-u. e" du
lim plat
-u²
1 du
b47
-lesb
= lim 2
b-b
2
辰
2
0
lug b
=
du
(谷)

ページ28:

I₁
=
=
log x
dx
du
lim fit { filx, } ² x
s
þ
logx-1
dx
n
2
lim ( -2 \log X) X-logazz x
x =
= u
=
e
e
u
とおく
lugα-1
da
x
u
-lug b
I
=
1
→
F
b
lug b
lug b
1 - 2 u ley-"}² (e "ju-! eu du
4-1
lim / I
·lus b
-24
= lim | 4 u² e-zu². eu²-u. eu du
=
log b
lim [ 4 u² e-u² du
lim 2 flash 4 u² e-u² du
0
4 lim | u. zu eu du.
= 4
=
4 lim J
u
(-e-u²)'du
=
b
4 lim {[u (- e-u²)] high ) (u) (-e) du}
-
Jayb
= 4 lim ( lug b-|- e - (light)" | + | " -" "du ]
=
=
6760
lim (log b) é- (lugh)"
b+r
4 lim (log b). e-(logh)=
b+r
= - 4 lim (ligh) e
b+
luy b
+
4. lim fast e-u'du
b + 0
o
+
2
-(log)
+
2π
5

ページ29:

ここで
m=
(2)より
t
ml
2m
‹ e
et
し
t=lugb
とすると
(logb)21
(lugb)2
9+9
<e
| !
の
とき
lugb>
として考える。
\log b)²
(Ju5b)2
l
-(logb)³
1
e
(lug b)³
| (-gb)--(lib)" |
Ulugby
1
lim logb
6+6
Ulugb)²
| = lim |
lugh
はさみうちの原理より
-logbi
lim (logb)e
b+r
⑤より
I
=
=
2
40+2
=0
|-
= 0
(谷)

ページ30:

(5) In = lim [ { tus } x lux-l de
²
logα-1
dx
logx = uとする
x
u
X
du
b
=
e
=4
-log b
In
(3)より
-
-
=
=
du
b
• lug b
=
lim
log b
Smart | fn le"; "" (e",""" e "du
-log b
2
lim] {fule"; }² eu-u.e"du
plug b
lim for f fnle") } " eu du
-lost
In (u) = g₁le")
=
fn (e"). (e")
loge"
= fnle") ·(e","
=
fn leus eu²
fn (e") eu² = ln (u)
fn ley) = e-u² ln (u)
In = lim (e-u² lulus }" eun du
=
lim | le-a²ja (lulus } eut du
=
lim | {In lus \ ². e-u du.
④ より
In+1 (u) =
2u lnlu) +
In (4)
du
I n + 1
(u)-e-u² =
Zulu (u)-e-u²
d
+
du
In (u)
-u

ページ31:

=
-
lutul (-zue"² ) + d lulu)-e
du
= ln (4) le-a³)" + l'a (u). e-u'
d
=
{ In (u)·ē
.
du
In = lim | { In lus l ' e-u² du.
=
=
=
lim | lacus { lacuse "² | du
lim | In (u) {
d
du
lim [[ lulus-la (4)-én
u
(u)
In-1 (u)ē
}
log b
=-u² | du
-log b
d
du
du
--||]
ここで
13157
In (u) 15
uの
n次式
l
3-114) 15
un
(n-1) : 2 =\'
In (u). In-1 (u) IJ
u
の (2n-1)次式
A = [ In (u) - In-1 (u) e-u² )
lug b
-log b
とおく
A
(log þ
の(2n-1)次ホリ
=
e (log by
2 m
(2)より
+2
m = n,
M !
<
t
t=logbとすると
(logb)2
24
<e
(logb)
n!

ページ32:

⑦15
( log b) 2n
くん!
e
(10g)2
(log b) 2n-1
e
b1のとき
(log)2
log b
< n !
(log b)
24-1
n!
(lugb)2
e
lug b
0 <
(log b)2.
n!
609612
lug b
n !
=0
fr | | | = 0
lim
b- o
lugb
はさみうちの原理より
lin
(logb)
24-1
b+
e
(log)2
= 0
lim A
= 0.
646
d
In = lim ) { “du
du
=
lim J
du
d
du
=
=
=
=
- lim [ [ { tu lulus } luz (use ""] sb
du
-logb
- [ { _^ la (4) lanz (4) e du ]
d²
du²
u² du
(-1)² lim ] [ de la (4) - luz (us-e="" d
|
du²
d"
-2
(-1) " lim | (a um lulus ) lo (u) e="" du
du"

ページ33:

ここで
(3)より
1414) 12
uの次式で
4" a
TE 12 18 (-2)" sy
d"
In (u) = (-2)". n. (n-1)..
2.1
du
=
(-2)" ·n!
lo (u) = 1
また (3)より
In = (-1) lim
h
1
log b
"(-2)". n! ·|· e-u" du
-log b
Closb
•
= (-1)" (-2)" n! · lim 2 / 4 e-" du
0
a
=
2" n! 2
I lim f ^ e-s² = √TC 8') )
2
=
2
". n ! πT
(谷)