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2次関数
4 自学
放物線y = x2 -4ax +26･･････ ①がx軸と異なる2点 A, B で交わっ
ている(ただし、 a, b は定数とする)。
(1) 放物線 ①の頂点の座標を求めよ。 また、aとbの関係式を求めよ。
■ 平方完成 y=(x-2a)2-4a2+2b 頂点(2a, -4a² + 26 )
頂点のy座標が負 -4a²+2b < 0
.. b<2a²
1
(2) 放物線①が点(-
"
- )を通るとき、 bをαを用いて表せ。 さらに、
416
AB=2√3であるとき、 αの値を求めよ。
1
1
1
x=-,
y
①に代入
16
16 = ( 4 ) ²
1
-4a· +2b
∴.b=
a
このとき①は
2
y = x2 -4ax+a
①の右辺 = 0 の 2次方程式を解くと
AB=2√3 より
・①
x=2a±√√4a² - a
(2a+√4a²-a)-(2a-√4a²-a)=2√3
..√√4a² – a = √3
-
両辺を2乗して2次方程式を解くと 4a-a-3=0
~一応確認~
(4a+3)(a-1)=0
3
a =
1
4
3
3
9
a=-- のとき b
4
-
2a²
=
8
より(1)の条件を満たす
8
a =
=1 のとき b
-
2a2=2
より(1)の条件を満たす
2

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(3)2点 A, B の x 座標がともに0<x<8を満たすような整数a,bの
組を求めよ。 このとき、 A, B の x 座標をそれぞれα, βとすると、
α + β > 8を満たすような整数a, bの値を求めよ。
» y=f(x)=x2-4ax+2b=(x-2a)? - 4a² + 26
⇒ 軸: x = 2a 頂点(2a, -4a2+2b)
条件を満たすには図の四つの条件を満たせばよさげ。
③f(0)>0
y
④(8)>0
A
2a
②0 <軸 <8
B
8
x
①頂点のy座標が負
① - 4α² +26 < 0 より
0 <2a < 8
より
(3)
f(0) = 26 0 より
b<2a²
0 <a<4a=1,2,3
b0
f(8) = -32a +26 + 64 > 0 より b>16(a-2)
i.a=1のとき、 0<b<2
だから b=1
ii.a=2のとき、 0<b<8
だから 6 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
iii.a=3のとき、 16 <b <18 だから 6=17
i, ii, iii より、a, bの組は9組。
(2)よりx = 2a±√4² -a だから
a + β = (2a+√4a²-a)+(2a-√4a²-a)=4a
a + β > 8より
a > 2
よって、上のiii が解だから a=3,b=17