rを1より大きい実数とする。半径1の円Cの周上に点Qとする。
最初に円Cの中心Pは座標平面の(0,1),点Qは(0,2)にあるものとし,円Cがx軸に接しながらx軸の正の方向にすべることなく転がっていく。角θラジアンだけ回転したとき,半直線PQ上にPR＝rとなる点Rをとる。θを0から2πまで動かしたときのRの軌跡を考える。
(1)α,βは0≦α<β≦2πを満たし,θ＝αのときのRの座標とθ＝βのときのRの座標が一致するものとする。t＝(β -α)/2とおくとき,rをtを用いて表せ。
(2)(1)において,θをαからβまで動かしたときのRの軌跡によって囲まれた図形の面積をSとする。Sをtを用いて表せ。
(3)lim(r→∞)S/r^2を求めよ。
(千葉大)